|
祖冲之算圆周率的方法
圆周率圆周率是指平面上圆的周长与直径之比（ratioofthecircumferenceofacircletothediameter）。用符号π（读音：pai）表示。中国古代有圆率、圆率、周等名称。（在工程上π≈3.14）圆周率的历史古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有「径一而周三」的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取π=（4/3）^4≈3.1604。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米得，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7))，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米得方法），得出精确到小数点后两位的π值。中国数学家刘徽在注释《九章算术》时（263年）只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。1579年法国数学家韦达给出π的第一个解析表达式。此后，无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（eniac）计算π值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型和ibm－vf型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下新的纪录。除π的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明π是无理数。1794年法国数学家勒让德又证明了π2也是无理数。到1882年德国数学家林德曼首次证明了π是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的「化圆为方」尺规作图问题。还有人对π的特征及与其它数字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了eπ是超越数等等。计算圆周率古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算，其一是德国的ludolphvanceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为ludolph数；其二是英国的williamshanks，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用ludolphvanceulen算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年lambert证明了圆周率是无理数，1882年lindemann证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率,多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；ludolphvanceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。1、machin公式http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247046.gifhttp://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247047.gif这个公式由英国天文学教授johnmachin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。machin.c源程序还有很多类似于machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，machin公式就力不从心了。下面介绍的算法，在pc机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用fft(fastfouriertransform)算法。fft可以将两个大数的乘除运算时间由o(n2)缩短为o(nlog(n))。2、ramanujan公式http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247048.gif1914年，印度数学家srinivasaramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。1989年，david&gregorychudnovsky兄弟将ramanujan公式改良成为：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247049.gif这个公式被称为chudnovsky公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247050.gif3、agm(arithmetic-geometricmean)算法gauss-legendre公式：初值：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247051.gif重复计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247052.gif最后计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247053.gif这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月takahashi和kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。4、borwein四次迭代式：初值：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247054.gif重复计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247055.gifhttp://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247056.gif最后计算：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247057.gif这个公式由jonathanborwein和peterborwein于1985年发表，它四次收敛于圆周率。5、bailey-borwein-plouffe算法http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247058.gif这个公式简称bbp公式，由davidbailey,peterborwein和simonplouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，fabricebellard找到了一个比bbp快40％的公式：http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247059.gif圆周率的计算历史时间纪录创造者小数点后位数前2000古埃及人1前1200中国1前500圣经1前250archimedes3263刘徽5480祖冲之71429al-kashi141593romanus151596ludolphvanceulen201609ludolphvanceulen351699sharp711706johnmachin1001719delagny127(112位正确)1794vega1401824rutherford208(152位正确)1844strassnitzky&dase2001847clausen2481853lehmann2611853rutherford4401874williamshanks707(527位正确)20世纪后年月纪录创造者所用机器小数点后位数1946ferguson62019471ferguson71019479ferguson&wrench8081949smith&wrench1,1201949reitwiesneretaleniac2,0371954nicholson&jeenelnorc3,0921957feltonpegasus7,48019581genuysibm70410,00019585feltonpegasus10,0211959guilloudibm70416,1671961shanks&wrenchibm7090100,2651966guilloud&filliatreibm7030250,0001967guilloud&dichamptcdc6600500,0001973guilloud&bouyercdc76001,001,2501981miyoshi&kanadafacomm-2002,000,0361982guilloud2,000,0501982tamuramelcom900ii2,097,1441982tamura&kanadahitachim-280h4,194,2881982tamura&kanadahitachim-280h8,388,5761983kanada,yoshino&tamurahitachim-280h16,777,206198510gospersymbolics367017,526,20019861baileycray-229,360,11119869kanada&tamurahitachis-810/2033,554,414198610kanada&tamurahitachis-810/2067,108,83919871kanada,tamura&kuboetalnecsx-2134,217,70019881kanada&tamurahitachis-820/80201,326,55119895chudnovskyscray-2&ibm-3090/vf480,000,00019896chudnovskysibm3090525,229,27019897kanada&tamurahitachis-820/80536,870,89819898chudnovskysibm30901,011,196,691198911kanada&tamurahitachis-820/801,073,741,79919918chudnovskys2,260,000,00019945chudnovskys4,044,000,00019958takahashi&kanadahitachis-3800/4804,294,967,286199510takahashi&kanada6,442,450,93819977takahashi&kanada51,539,600,00019994takahashi&kanada68,719,470,00019999takahashi&kanadahitachisr8000206,158,430,0002002takahashiteam1,241,100,000,000圆周率的最新计算纪录1、新世界纪录圆周率的最新计算纪录由日本人金田康正的队伍的所创造。他们于2002年算出π值1,241,100,000,000位小数，这一结果打破了他们于1999年9月18日创造的206,000,000,000位小数的世界纪录。4、一些有趣的数字序列在p小数点后出现的位置数字序列出现的位置0123456789126,852,899,24541,952,536,16199,972,955,571102,081,851,717171,257,652,3690123456789053,217,681,704148,425,641,592432109876543149,589,314,822543210987654197,954,994,28998765432109123,040,860,473133,601,569,485150,339,161,883183,859,550,2370987654321042,321,758,80357,402,068,39483,358,197,9541098765432189,634,825,550137,803,268,208152,752,201,2452718281828445,111,908,393pc机上的计算1、pifast目前pc机上流行的最快的圆周率计算程序是pifast。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt(2)。pifast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于fabricebellard公式的验算功能。2、pc机上的最高计算记录最高记录12,884,901,372位时间2000年10月10日记录创造者shigerukondo所用程序pifastver3.3机器配置pentiumiii1g,1792mram，windowsnt4.0，40gbx2(ide,fasttrak66)计算时间1,884,375秒(21.8天)验算时间29小时圆周率小数点后20000位1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989-----[1000]-----3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009-----[2000]-----9465764078951269468398352595709825822620522489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695848653836736222626099124608051243884390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364542858444795265867821051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310578539062198387447808478489683321445713868751943506430218453191048481005370614680674919278191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961-----[3000]-----5679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111660396-----[4000]-----6655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045334885034611365768675324944166803962657978771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923099079654737612551765675135751782966645477917450112996148903046399471329621073404375189573596145890193897131117904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215718530614228813758504306332175182979866223717215916077166925474873898665494945011465406284336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711963779213375751149595015660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998886874132604721-----[5000]-----5695162396586457302163159819319516735381297416772947867242292465436680098067692823828068996400482435403701416314965897940924323789690706977942236250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782973523344604281512627203734314653197777416031990665541876397929334419521541341899485444734567383162499341913181480927777103863877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598828161332316663652861932668633606273567630354477628035045077723554710585954870279081435624014517180624643626794561275318134078330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879695970309833913077109870408591337464144282277263465947047458784778720192771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798069411352801314701304781643788518529092854520116583934196562134914341595625865865570552690496520985803385072242648293972858478316305777756068887644624824685792603953527734803048029005876075825104747091643961362676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460-----[6000]-----2901618766795240616342522577195429162991930645537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111369410911939325191076020825202618798531887705842972591677813149699009019211697173727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029893922334517220138128069650117844087451960121228599371623130171144484640903890644954440061986907548516026327505298349187407866808818338510228334508504860825039302133219715518430635455007668282949304137765527939751754613953984683393638304746119966538581538420568533862186725233402830871123282789212507712629463229563989898935821167456270102183564622013496715188190973038119800497340723961036854066431939509790190699639552453005450580685501956730229219139339185680344903982059551002263535361920419947455385938102343955449597783779023742161727111723643435439478221818528624085140066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784322988273723198987571415957811196358330059408730681216028764962867-----[7000]-----446047746491599505497374256269010490377819868359381465741268049256487985561453723478673303904688383436346
祖冲之推算圆周率采用的是“割圆术”，“割圆术”是三国时期刘徽提出的计算圆周率的科学方法--“用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．”刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．参考资料：http://hexinqin.bokee.com/
|
|
