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九章算术
卷八 治国平天下之道(凡二十五条)
卷九 制度(凡二十七条)
卷十 处事之方(凡六十四条)
卷十一 教学之道(凡二十一条)
卷十二 改过及人心疵病(凡三十三条)
卷十三 异端之学(凡十四条)
卷十四 圣贤气象(凡二十六条)
九章算术注序(刘徽)
卷一
卷六 齐家之道(凡二十二条)
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卷二
子。以粟求粝米者,以子
乘,其母报除也。然则所求之率常为母也。
淳风等按:“宜云所求之率常为子,所有之率常为母。”今乃云“所求之率
常为母”知,脱错也。〕
实如法而一。
今有粟一斗,欲为粝米。问得几何?答曰:为粝米六升。
术曰:以粟求粝米,三之,五而一。
〔淳风等按:都术:以所求率乘所有数,以所有率为法。此术以粟求米,故
粟为所有数。三是米率,故三为所求率。五为粟率,故五为所有率。粟率五十,
米率三十,退位求之,故惟云三、五也。〕
今有粟二斗一升,欲为粺米。问得几何?答曰:为粺米一斗一升五十分
升之十七。
术曰:以粟求粺米,二十七之,五十而一。
〔淳风等按:粺米之率二十有七,故直以二十七之,五十而一也。〕
今有粟四斗五升,欲为
米。问得几何?答曰:为
米二斗一升五
分升之三。
术曰:以粟求
米,十二之,二十五而一。
〔淳风等按:
米之率二十有四,以为率太繁,故因而半之。半所求之
率,以乘所有之数。所求之率既减半,所有之率亦减半。是故十二乘之,二十五
而一也。〕
今有粟七斗九升,欲为御米。问得几何?答曰:为御米三斗三升五十分升之
九。
术曰:以粟求御米,二十一之,五十而一。
今有粟一斗,欲为小。问得几何?答曰:为小二升一十分升之
七。
术曰:以粟求小,二十七之,百而一。
〔淳风等按:小之率十三有半。半者二为母,以二通之,得二十七,
为所求率。又以母二通其粟率,得一百,为所有率。凡本率有分者,须即乘除也。
他皆仿此。〕
今有粟九斗八升,欲为大。问得几何?答曰:为大一十斗五升
二十五分升之二十一。
术曰:以粟求大,二十七之,二十五而一。
〔淳风等按:大之率五十有四。因其可半,故二十七之,亦如粟求
米,半其二率。〕
今有粟二斗三升,欲为粝饭。问得几何?答曰:为粝饭三斗四升半。
术曰:以粟求粝饭,三之,二而一。
〔淳风等按:粝饭之率七十有五,粟求粝饭,合以此数乘之。今以等数二十
有五约其二率,所求之率得三,所有之率得二,故以三乘二除。〕
今有粟三斗六升,欲为粺饭。问得几何?答曰:为粺饭三斗八升二十五
分升之二十二。
术曰:以粟求粺饭,二十七之,二十五而一。
〔淳风等按:此术与大多同。〕
今有粟八斗六升,欲为
饭。问得几何?答曰:为
饭八斗二升二
十五分升之一十四。
术曰:以粟求
饭,二十四之,二十五而一。
〔淳风等按:饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕
今有粟九斗八升,欲为御饭。问得几何?答曰:为御饭八斗二升二十五分升
之八。
术曰:以粟求御饭,二十一之,二十五而一。
〔淳风等按:此术半率,亦与
饭多同。〕
今有粟三斗少半升,欲为菽。问得几何?答曰:为菽二斗七升一十分升之三。
今有粟四斗一升太半升,欲为荅。问得几何?答曰:为荅三斗七升半。
今有粟五斗太半升,欲为麻。问得几何?答曰:为麻四斗五升五分升之三。
今有粟一十斗八升五分升之二,欲为麦。问得几何?答曰:为麦九斗七升二
十五分升之一十四。
术曰:以粟求菽、荅、麻、麦,皆九之,十而一。
〔淳风等按:四术率并四十五,皆是为粟所求,俱合以此率乘其本粟。术欲
从省,先以等数五约之,所求之率得九,所有之率得十,故九乘十除,义由于此。〕
今有粟七斗五升七分升之四,欲为稻。问得几何?答曰:为稻九斗三十五分
升之二十四。
术曰:以粟求稻,六之,五而一。
〔淳风等按:稻率六十,亦约二率而乘除。〕
今有粟七斗八升,欲为豉。问得几何?答曰:为豉九斗八升二十五分升之七。
术曰:以粟求豉,六十三之,五十而一。
今有粟五斗五升,欲为飧。问得几何?答曰:为飧九斗九升。
术曰:以粟求飧,九之,五而一。
〔淳风等按:飧率九十,退位,与求稻多同。〕
今有粟四斗,欲为熟菽。问得几何?答曰:为熟菽八斗二升五分升之四。
术曰:以粟求熟菽,二百七之,百而一。
〔淳风等按:熟菽之率一百三半。半者,其母二,故以母二通之。所求之率
既被二乘,所有之率随而俱长,故以二百七之,百而一。〕
今有粟二斗,欲为糵。问得几何?答曰:为糵七斗。
术曰:以粟求糵,七之,二而一。
〔淳风等按:糵率一百七十有五,合以此数乘其本粟。术欲从省,先以等数
二十五约之,所求之率得七,所有之率得二,故七乘二除。〕
今有粝米十五斗五升五分升之二,欲为粟。问得几何?答曰:为粟二十五斗
九升。
术曰:以粝米求粟,五之,三而一。
〔淳风等按:上术以粟求米,故粟为所有数,三为所求率,五为所有率。今
此以米求粟,故米为所有数,五为所求率,三为所有率。准都术求之,各合其数。
以下所有反求多同,皆准此。〕
今有粺米二斗,欲为粟。问得几何?答曰:为粟三斗七升二十七分升之一。
术曰:以粺米求粟,五十之,二十七而一。
今有
米三斗少半升,欲为粟。问得几何?答曰:为粟六斗三升三十六
分升之七。
术曰:以
米求粟,二十五之,十二而一。
今有御米十四斗,欲为粟。问得几何?答曰:为粟三十三斗三升少半升。
术曰:以御米求粟,五十之,二十一而一。
今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四,欲为粟。问得几何?答曰:为粟
一十斗五升九分升之七。
术曰:以稻求粟,五之,六而一。
今有粝米一十九斗二升七分升之一,欲为粺米。问得几何?答曰:为粺
米一十七斗二升一十四分升之一十三。
术曰:以粝米求粺米,九之,十而一。
〔淳风等按:粺米率二十七,合以此数乘粝米。术欲从省,先以等数三约
之,所求之率得九,所有之率得十,故九乘而十除。〕
今有粝米六斗四升五分升之三,欲为粝饭。问得几何?答曰:为粝饭一十六
斗一升半。
术曰:以粝米求粝饭,五之,二而一。
〔淳风等按:粝饭之率七十有五,宜以本粝米乘此率数。术欲从省,先以等
数十五约之,所求之率得五,所有之率得二,故五乘二除,义由于此。〕
今有粝饭七斗六升七分升之四,欲为飧。问得几何?答曰:为飧九斗一升三
十五分升之三十一。
术曰:以粝饭求飧,六之,五而一。
〔淳风等按:飧率九十,为粝饭所求,宜以粝饭乘此率。术欲从省,先以等
数十五约之,所求之率得六,所有之率得五。以此,故六乘五除也。〕
今有菽一斗,欲为熟菽。问得几何?答曰:为熟菽二斗三升。
术曰:以菽求熟菽,二十三之,十而一。
〔淳风等按:熟菽之率一百三半。因其有半,各以母二通之,宜以菽数乘此
率。术欲从省,先以等数九约之,所求之率得一十一半,所有之率得五也。〕
今有菽二斗,欲为豉。问得几何?答曰:为豉二斗八升。
术曰:以菽求豉,七之,五而一。
〔淳风等按:豉率六十三,为菽所求,宜以菽乘此率。术欲从省,先以等数
九约之,所求之率得七,而所有之率得五也。〕
今有麦八斗六升七分升之三,欲为小。问得几何?答曰:为小
二斗五升一十四分升之一十三。
术曰:以麦求小,三之,十而一。
〔淳风等按:小之率十三半,宜以母二通之,以乘本麦之数。术欲从
省,先以等数九约之,所求之率得三,所有之率得十也。〕
今有麦一斗,欲为大。问得几何?答曰:为大抃一斗二升。
术曰:以麦求大,六之,五而一。
〔淳风等按:大之率五十有四,合以麦数乘此率。术欲从省,先以等
数九约之,所求之率得六,所有之率得五也。〕
今有出钱一百六十,买瓴甓十八枚。
〔瓴甓,砖也。〕
问枚几何?答曰:一枚八钱九分钱之八。
今有出钱一万三千五百,买竹二千三百五十个。问个几何?答曰:一个,五
钱四十七分钱之三十五。
经率 术曰:以所买率为法,所出钱数为实,实如法得一。
〔此术犹经分。
淳风等按:今有之义,以所求率乘所有数,合以瓴甓一枚乘钱一百六十为实。
但以一乘不长,故不复乘,是以径将所买之率与所出之钱为法、实也。又按:此
今有之义。出钱为所有数,一枚为所求率,所买为所有率,而今有之,即得所求
数。一乘不长,故不复乘,是以径将所买之率为法,以所出之钱为实,实如法得
一枚钱。不尽者,等数而命分。〕
今有出钱五千七百八十五,买漆一斛六斗七升太半升。欲斗率之,问斗几何?
答曰:一斗,三百四十五钱五百三分钱之一十五。
今有出钱七百二十,买缣一匹二丈一尺。欲丈率之,问丈几何?答曰:一丈,
一百一十八钱六十一分钱之二。
今有出钱二千三百七十,买布九匹二丈七尺。欲匹率之,问匹几何?答曰:
一匹,二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四。
今有出钱一万三千六百七十,买丝一石二钧一十七斤。欲石率之,问石几何?
答曰:一石,八千三百二十六钱一百九十七分钱之百七十八。
术曰:以求所率乘钱数为实,以所买率为法,实如法得一。
〔淳风等按:今有之义,钱为所求率,物为所有数,故以乘钱,又以分母乘
之为实。实如法而一,有分者通之。所买通分内子为所有率,故以为法。得钱数
不尽而命分者,因法为母,实余为子。实见不满,故以命之。〕
今有出钱五百七十六,买竹七十八个。欲其大小率之,问各几何?答曰:其
四十八个,个七钱;其三十个,个八钱。
今有出钱一千一百二十,买丝一石二钧十八斤。欲其贵贱斤率之,问各几何?
答曰:其二钧八斤,斤五钱;其一石一十斤,斤六钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石
率之,问各几何?答曰:其一钧九两一十二铢,石八千五十一钱;其一石一钧二
十七斤九两一十七铢,石八千五十二钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱钧
率之,问各几何?答曰:其七斤一十两九铢,钧二千一十二钱;其一石二钧二十
斤八两二十铢,钧二千一十三钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱斤
率之,问各几何?答曰:其一石二钧七斤十两四铢,斤六十七钱;其二十斤九两
一铢,斤六十八钱。
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱两
率之,问各几何?答曰:其一石一钧一十七斤一十四两一铢,两四钱;其一钧一
十斤五两四铢,两五钱。
其率 术曰:各置所买石、钧、斤、两以为法,以所率乘钱数为实,实如法
而一。不满法者,反以实减法。法贱实贵。其求石、钧、斤、两,以积铢各除法、
实,各得其积数,余各为铢。
〔其率知,欲令无分。按:出钱五百七十六,买竹七十八个,以除钱,得七,
实余三十,是为三十个复可增一钱。然则实余之数即是贵者之数,故曰实贵也。
本以七十八个为法,今以贵者减之,则其余悉是贱者之数。故曰法贱也。其求石、
钧、斤、两,以积铢各除法、实,各得其积数,余各为铢者,谓石、钧、斤、两
积铢除实,又以石、钧、斤、两积铢除法,余各为铢,即合所问。〕
今有出钱一万三千九百七十,买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱铢
率之,问各几何?答曰:其一钧二十斤六两十一铢,五铢一钱;其一石一钧七斤
一十二两一十八铢,六铢一钱。
今有出钱六百二十,买羽二千一百翭。
〔翭,羽本也。数羽称其本,犹数草木称其根株。〕
欲其贵贱率之,问各几何?答曰:其一千一百四十翭,三翭一钱;
其九百六十翭,四翭钱。
今有出钱九百八十,买矢榦五千八百二十枚。欲其贵贱率之,问各几何?答
曰:其三百枚,五枚一钱;其五千五百二十枚,六枚一钱。
反其率 术曰:以钱数为法,所率为实,实如法而一。不满法者,反以实减
法。法少实多。二物各以所得多少之数乘法、实,即物数。
〔按:其率:出钱六百二十,买羽二千一百翭。反之,当二百四十钱,
一钱翭;其三百八十钱,一钱三翭。是钱有二价,物有贵贱。故以羽乘
钱,反其率也。
淳风等按:其率者,钱多物少;反其率知,钱少物多;多少相反,故曰反其
率也。其率者,以物数为法,钱数为实。反之知,以钱数为法,物数为实。不满
法知,实余也。当以余物化为钱矣。法为凡钱,而今以化钱减之,故以实减法。
法少知,经分之所得,故曰法少;实多者,余分之所益,故曰实多。乘实宜以多,
乘法宜以少,故曰各以其所得多少之数乘法、实,即物数。〕
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