由此看来，《孙子算经》九九表中的‘二二如四’、‘三三如九’，不一定必为唐宋刊本所改。汉去秦未远，里耶秦简九九表虽用“而”字，但不排除秦时九九表亦有用“如”字的可能。我们认为，在先秦古九九表中，“而”“如”通用，并无早晚之别，王国维“改‘而’作‘如’，始于宋代”之说不可尽信。

（４），“二半而一”非小数运算

胡平生《读里耶秦简札记》：“与过去发现的九九表不同，这个表多了‘二半而一’一项，这实际上已经是小数运算。”^[15]按，此说有误。钱宝琮《中国数学史》说：“古人记数，碰到整数之下还有奇零部分，通常用分数表示。十进小数的普遍应用是相当迟的。（晋）刘辉在他的《九章算术》‘少广’章注中，曾主张用一位或多位十进小数表示无理数平方根或立方根的奇零部分，但这个超时代的宝贵意见没有被一般数学工作者采纳。唐朝统一中国以后，……数学知识和计算技能有了相应的发展。就在这个时期里，十进小数逐渐获得了广泛应用。”^[16]一般认为，刘辉只是最先提出了关于十进小数的概念，小数的实际运用，主要还是受南北朝以后印度数学知识传入的激发。数学史家李俨以六至八世纪（南北朝至隋唐）汉译《大宝积经》《大般若波罗密多经》《大波罗密多经》《大方广佛华严经》中小数运用的实例助成此说，堪称精审（参李俨《中国古代数学史料》“天竺小数记法”一节）。^[17]由此看来，先秦时期，中国尚未使用小数。

考诸中国数学史，先秦金文中即已出现了分数的记载，此见《商鞅量》：“十八年齐遣卿夫二众来聘，冬十二月乙酉大良造鞅爰，积十六尊五分尊（之）一为升。” ^[18]董作宾先生甚至在甲骨文中考出了殷商的四分历（其一年的长度为三百六十五又四分之一）。至于复杂的分数运算，在反映秦汉时期数学成就的《周髀算经》《九章算术》及《算数书》（1984年出土于湖北江陵）中都已得到了普遍的应用。所以，我们认为，里耶秦简九九表中的“二半而一”，理当视为分数运算。

二、秦简九九表的数理内涵

（一）、乘法交换律运用的最早物证

秦简九九当属所谓“小九九”，因为表中有“八九七十二”而无“九八七十二”；有“三七二十一”而无“七三二十一”（余句准此）。结合《管子》《战国策》《荀子》等传世古文献所引九九口诀亦全属“小九九”的事实（见下表）， ^[19]我们推断：最迟不晚于春秋战国时代，中国人就已经掌握了乘法交换律。不言而喻，里耶秦简九九表为这一推论提供了最早的实物证明。　

传世古文献所引九九口诀一览表

　　　　　　　所引口诀

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