（三）、加法：九九的数理基础

在阐述这一结论之前，学者们从不知晓的两点新情况，首先必须予以说明。

（１）、九九表的句数

钱宝琮《中国数学史》：“现在的乘法口诀是从‘一一如一’起到‘九九八十一’止，共四十五句。古代的乘法口诀是从‘九九八十一’起到‘二二如四’止（缺少‘一九如九’、‘一八如八’等九句），只有三十六句。” ^[20]长期以来，此说似已成数学史界共识，迄今未见异议。但是，里耶秦简九九表的出土，却动摇了这一结论：秦简九九表既不是45句，也不是36句，它是38句!——这种38句的九九表，学者们确实未尝梦见。王国维考释敦煌汉简，之所以与手中38句的九九表失之交臂，殆亦以此。他误将38句的九九表视为36句者大加阐发，留下了自相矛盾，顾此失彼的遗憾。

（２）、“一一而二”不当改释

湖南省文物考古研究所《湘西里耶秦代简牍选释》（张春龙先生执笔）将简中的“一一而二”改为“一二而二”，非是！其实，注释者也看出了该句“一”字下所加的重文符号，但是，囿于成见，仅仅以“简牍内容是乘法表”为由，就轻率地将其改释为“一二而二”了。 ^[21]我们认为，这种改释，理由不足。其一，简中该句清晰可读，目为误书，太过勉强。其二，简中口诀，古代文献只浑称为“九九”或“九九之术”，即使用于乘法运算，亦并未称之为“乘法表”。 其三，“一一而二”确是加法，但正是靠了这句，我们才得以了解先秦九九表的数理基础（详下文）。甚至可以说，此处一字之改，必成障目之叶，会使研究者枉然错失泰山。

基于以上说明，我们应当承认：先秦九九表中确乎没有“一九如九”、“一八如八”到“一二如二”、“一一如一”等九句。如何解释这一奇特现象？前人之述未备，兹略抒管见如下。

自然数乘法有两种定义法，一种以集合为基础概念，另一种以加法为基础概念。

定义（Ａ）：设有b个没有公共元素的等价集合 … ，它们的基数都是a，它们的并集c的基数为c，那么c叫做a与b的积。求两个数积的运算叫做乘法。

定义（Ｂ）：b个相同加数a的和c叫做a与b的积，求两个数积的运算叫做乘法。

根据定义（Ｂ），乘数最小应是2。所以，遇到乘数是1或者0的情况，就不能说求1个或0个加数的和。因此，需要对（Ｂ）补充定义：

（1）当乘数是1时，a×1＝a

（2）当乘数是0时，a×0＝0

数学史研究表明：乘法产生于若干个相同数之和的运算（即同数连加）。换言之，乘法乃是加法的一种特殊形式。因此，早期的乘法与加法颇为类似，埃及4000年前使用的“倍乘叠加法”就是最好的例证。所以，我们有理由认为，先秦的九九口诀亦来源于加法。具体而言，如“八九七十二”，其原始含义当为“八个九相加等于七十二”（亦即“同数连加”的运算）。实际上，秦简九九表除“一一而二”需要表述为“１+１=２”之外，其余37句，均可以作上述理解。

总之，先秦时期，虽然九九口诀早已用于乘法计算，但加法作为其数理基础的实质仍班班可考。——确立了这一数

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